设$f$是域$\mathbb F$上的$n$维线性空间$V$上的一个对称双线性函数，$f$在$V$的一个基$\alpha_1, \dots, \alpha_n$下的度量矩阵为$A$，$\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_n) X , \beta = (\alpha_1, \dots, \alpha_n) Y$，则

$$ f(\alpha, \beta) = X^T A Y = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i y_j $$

从而，定义

$$ q(\alpha) := f(\alpha, \alpha) = X^T A X = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j $$

称$q$是$V$上的一个二次函数

n元多项式的概念和性质

定义：

设$\mathbb F$是一个域，$x_1, \dots, x_n$是$n$个符号，形如下述的表达式：

$$ \sum_{i_1, \dots, i_n} a_{i_1 i_2 \dots i_n} x_1^{i_1} x_2^{i_2} \cdots x_n^{i_n} $$

其中$i_1, \dots, i_n \in \N$，$a_{i_1 i_2 \dots i_n} \in \mathbb F$称为系数，且只有有限多个系数不为$0$，如果满足：

两个这种形式的表达式相等当且仅当它们含有完全相同的项（系数为$0$的项除外）

那么称这种表达式是域$\mathbb F$上的一个$n$元多项式，此时$x_1, \dots, x_n$是$n$个无关不定元。

次数全为$0$的多项式为零多项式

定义

定义下面的集合：

$$ \mathbb F [x_1, \dots, x_n] := \{ \mathbb F \text{上的所有}n \text{元多项式} \} $$

易验证$\mathbb F[x_1, \dots, x_n]$称为一个有单位元$1$的交换环

称它为域$\mathbb F$上的$n$元多项式环

定义

若$f(x_1,\dots, x_n)$的每个系数不为$0$的单项式的次数都等于$m$，则称$f(x_1, \dots, x_n)$是一个$m$次齐次多项式

零多项式$0$是$m$次齐次多项式，$\forall m \in \N$

集合

$$ \{ \mathbb F \text{上的所有}n \text{元} m \text{次多项式} \} $$

是域$\mathbb F$上的一个线性空间