在几何空间$V$中，内积$\vec a \cdot \vec b = |\vec a| |\vec b| \cos\langle \vec a , \vec b \rangle$，它们满足：

• 对称：$\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a$
• 线性：$(\vec a + \vec c ) \cdot \vec b = \vec a \cdot \vec b + \vec c \cdot \vec b$，$(k \vec a) \cdot \vec b = k \vec a \cdot \vec b$

类似引入双线性函数

双线性函数的概念与性质

定义

设$V$是域$\mathbb F$上的一个线性空间，$V \times V$到$\mathbb F$的一个映射$f$如果满足：

• $f(k_1 \alpha_1+ k_2\alpha_2, \beta ) = k_1 f(\alpha_1, \beta) + k_2 f(\alpha_2 , \beta), \forall \alpha_1, \alpha_2, \beta \in V, \forall k_1, k_2 \in \mathbb F$
• $f(\alpha, l_1 \beta_1 + l_2 \beta_2) = l_1 f(\alpha, \beta_1) + l_2 f(\alpha, \beta_2) , \forall \alpha,\beta_1, \beta_2\in V, \forall l_1, l_2 \in \mathbb F$

那么称$f$是$V$上的一个双线性函数。

任给$\alpha \in V$，映射$\alpha_L (\beta) := f(\alpha,\beta), \forall \beta \in V$，易验证$\alpha_L$ 是$V$上的一个线性函数。

任给$\beta \in V$，映射$\beta_R(\alpha):= f(\alpha, \beta) ,\forall \alpha \in V$，易验证$\beta_R$是$V$上的一个线性函数。

设$\dim V = n$，在$V$中取一个基$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$，$V$中任一向量$\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_n)(x_1,\dots, x_n)^T = (\alpha_1, \dots, \alpha_n) X$，$\beta = (\alpha_1, \dots, \alpha_n)(y_1, \dots, y_n)^T = (\alpha_1, \dots, \alpha_n)Y$。设$f$是$V$上的一个双线性函数，则

$$ f(\alpha, \beta) = f(\sum_{i=1}^nx_i\alpha_i, \sum_{j=1}^{n}y_j \beta_j) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n x_iy_jf(\alpha_i, \alpha_j) =\sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^n x_i f(\alpha_i, \alpha_j)\right) y_j

\begin{pmatrix} \sum_{i=1}^n x_i f(\alpha_i, \alpha_1) & \cdots & \sum_{i=1}^n x_i f(\alpha_i, \alpha_n) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f(\alpha_1, \alpha_1) & \cdots & f(\alpha_1, \alpha_n) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ f(\alpha_n, \alpha_1) & \cdots & f(\alpha_n, \alpha_n) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} = X^T A Y $$

其中的矩阵$A$被$f$和给定的基所决定，因此将其称为是$f$在基$\alpha_1, \dots, \alpha_n$下的度量矩阵。

将$f(\alpha, \beta) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n x_iy_jf(\alpha_i, \alpha_j)$ 和$f(\alpha, \beta) = X^T A Y$都称为$f$在基$\alpha_1, \dots, \alpha_n$下的表达式。

反之，任给$A\in M_n(\mathbb F)$，令$f(\alpha, \beta) := X^T A Y$，易验证$f$是$V$上的一个双线性函数，且$f$在基Z$\alpha_1, \dots, \alpha_n$下的度量矩阵是$A$。

<aside> 💡 给定双线性函数可以得到一个矩阵，给定一个矩阵，可以得到一个双线性函数。

</aside>

下面探讨同一个双线性函数不同基下的度量矩阵之间的关系

设$f$是域$\mathbb F$上$n$维线性空间$V$上的双线性函数，$V$的两个基之间$(\beta_1, \dots, \beta_n) = (\alpha_1, \dots, \alpha_n) C$，$f$在基$\alpha_1, \dots, \alpha_n$下的度量矩阵为$A$，在基$\beta_1, \dots, \beta_n$下的度量矩阵为$B$，则$B = C^T A C$。

• 证明

定义：