对于$n$元有序数组$(a_1 , a_2, \dots , a_n)$

令

$$ K^n = \{ (a_1, a_2, \dots , a_n) \mid a_i \in \mathcal K, i=1,\dots,n \} $$

又称$(a_1 , a_2, \dots , a_n)$为$n$维向量

规定：

• 数量乘法：$k(a_1, a_2, \dots, a_n) := (ka_1, ka_2, \dots, k a_n )$
• 加法：$(a_1, a_2, \dots, a_n) + (b_1, b_2, \dots, b_n) := (a_1+b_1, a_2+b_2, \dots, a_n+b_n)$

线性空间

映射的概念：

若对应法则$f:A \to B$，集合$A$中的每一个元素$a$对应$B$中的唯一一个元素$b$，$b$为$a$在$f$下的像，记作$f(a)$，$a$为$b$在$f$下的原像，称$f$是$A$到$B$的一个映射。

集合$A$称为定义域（domain），集合$B$称为陪域（codomain）

$f$的值域为：$f(A) := \{f(a) \mid a \in A\}$

• 若$f(A) = B$，则$f$称为一个满射
• 若$A$中不同元素在$f$下的像不同，则称$f$是单射
• 若$f$既是单射又是满射，则称为一个双射（一一映射）

笛卡尔积：

称$S \times M := \{ (a, b) \mid a\in S, b\in M \}$为集合$S$和$M$的笛卡尔积

代数运算：

非空集合$S$上的一个代数运算是指$S\times S$到$S$的一个映射