线性映射的定义和性质

设$V$ 和$V'$都是数域$\mathbb F$上的线性空间，$V$到$V'$的一个映射$A$如果满足：

$$ A(\alpha + \beta ) = A(\alpha) + A(\beta) ,\forall \alpha, \beta \in V \\

A(k \alpha) = k A(\alpha), \forall \alpha \in V, \forall k \in \mathbb F $$

那么称$A$是$V$到$V'$的一个线性映射，$V$到自身的线性映射称为$V$上的线性变换。

例如，任给$k \in \mathbb F$，令：

$$ \underline{k} (\alpha) : = k \alpha, \forall \alpha \in V $$

则$\underline k$是$V$上的一个线性变换，称$\underline k$是$V$上的数乘变换。根据数乘变换可以得：

• 零变换：$\underline 0 (\alpha) = 0, \forall \alpha \in V$
• 恒等变换：$\underline 1 (\alpha) = \alpha, \forall \alpha \in V$，记作$\underline I$

设$A: V \to V'$ 是线性映射，则有如下性质：

1. $\underline A (0) = 0'$
2. $\underline A (- \alpha ) = - \underline A(\alpha)$
3. $\underline A (k_1 \alpha_1 + \cdots + k_s \alpha_s ) = k_1 \underline A(\alpha_1) + \cdots + k_s \underline A(\alpha_s)$
4. $\alpha_1, \dots, \alpha_s$在$V$中线性相关$\Rightarrow$$\underline A(\alpha_1) , \dots, \underline A(\alpha_s)$在$V'$中线性相关
5. 假设$\dim V = n$，在$V$中取一个基$\alpha_1, \dots, \alpha_n$，任一$\alpha \in V$，设$\alpha = a_1 \alpha_1 + \cdots + a_n \alpha_n$，则：$\underline A(\alpha) = a_1 \underline A(\alpha_1) + \cdots + a_n \underline A(\alpha_n)$，从而$\underline A$被它在$V$上的一个基上的作用所决定，即若$V$到$V'$的一个线性映射$\underline B$满足：$\underline B(\alpha_i) = \underline A (\alpha_i), i = 1, 2,\dots, n$，则$\underline B = \underline A$。
6. $\underline A$是$V$到$V'$的一个同构映射（双射、保持加法和数量乘法）等价于$\underline A$是$V$到$V'$可逆线性映射

定理：