n个不同的正整数的一个全排列称为一个n元排列。n元排列有$n！$个
对于一对数，若是大的数在前，小的数在后，则此时称这一对数构成一个逆序
一个n元排列中的逆序的总数称为逆序数
逆序数为奇数的排列称之为奇排列，反之为偶排列
把排列2341的3和1互换位置，其余数不动，便得到排列2143，像这样的变换称之为一个对换
定理：
对换改变n元排列的奇偶性
定理：
任一n元排列与排列$123\cdots n$可以经过一系列的对换互相转换 ，并且所做的对换的次数与这个n元排列有相同的奇偶性
定义如下：
$$ {\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,n}\end{vmatrix}}} $$
是$n!$项（因为$n$元排列有$n！$个）的代数和，其中每一项都是位于不同行、不同列的$n$个元素的乘积，把这n个元素按照行指标为自然顺序排好位置，当列指标构成的排列是偶排列时，该项带正号，是奇排列时，该项带负号
$$ {\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,n}\end{vmatrix}}} = \sum_{j_1, j_2, \dots , j_n} (-1)^{\tau(j_1 j_2 \cdots j_n)} a_{1 j_1} a_{2 j_2} \cdots a_{n j_n} $$
$n$阶行列式也称为矩阵$A$的行列式，记为$|A|$或者$\det A$
2阶行列式
$$ {\displaystyle \det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc} $$
3阶行列式
| Permutation ${\displaystyle \sigma }$ | ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}$ | ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )\prod {i=1}^{n}a{i,\sigma _{i}}}$ |
|---|---|---|
| 1, 2, 3 | ${\displaystyle +1}$ | ${\displaystyle +a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}}$ |
| 1, 3, 2 | ${\displaystyle -1}$ | ${\displaystyle -a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}}$ |
| 3, 1, 2 | ${\displaystyle +1}$ | ${\displaystyle +a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}}$ |
| 3, 2, 1 | ${\displaystyle -1}$ | ${\displaystyle -a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}}$ |
| 2, 3, 1 | ${\displaystyle +1}$ | ${\displaystyle +a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}}$ |
| 2, 1, 3 | ${\displaystyle -1}$ | ${\displaystyle -a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}}$ |
$$ a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}-a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}+a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}-a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}+a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}-a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3} $$
上三角形矩阵与上三角形行列式
主对角线下方的元素全为0的n阶矩阵称为上三角形矩阵，其行列式称为上三角形行列式
若是行指标没有按照顺序排列 ，也可以通过下面的方式计算正负号，即同时考虑行指标和列指标的逆序数
$$ (-1)^{\tau(i_1 i_2 \cdots i_n) + \tau (k_1 k_2 \cdots k_n)} a_{i_1 k_1 }a_{i_2 k_2 } \cdots a_{i_n k_n} $$