定义：
实数域上的线性空间$V$上的对称双线性函数$f$，如果它满足$\forall \alpha \in V$有$f(\alpha, \alpha) \ge 0$，其中等号成立当且仅当$\alpha = 0$，那么称$f$是正定的。
命题：
$n$维实线性空间$V$上的对称双线性函数$f$是正定的，当且仅当$f$在$V$的一个基下的度量矩阵$A$满足：
- $A$是对称矩阵
- $\forall X \in \mathbb R^n, X \not = 0, X^T A X > 0$
定义：
$n$阶实对称矩阵$A$若满足$\forall X \in \mathbb R^n$且$X \not = 0$，有$X^T A X > 0$，则称$A$是正定对称矩阵，简称为正定矩阵。
定义：
实线性空间$V$上的一个正定的对称双线性函数$f$称为$V$上的一个内积，把$f(\alpha, \beta)$ 简记成$(\alpha, \beta)$，把$f$简记成$(\ , \ )$。若实线性空间$V$指定了一个内积，则称$V$是一个实内积空间。有限维的实内积空间称为欧几里得空间。
在$\mathbb R^n$中，任给$X = (x_1, \dots, x_n)^T, Y = (y_1, \dots, y_n)^T$，令：
$$ (X, Y) = \sum_{i=1}^n x_iy_i = X^T Y $$
则$( \ , \ )$是$\mathbb R^n$上的一个对称的双线性函数，且它在$\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n$下的度量矩阵为单位阵$I$。
且$\forall X \in \mathbb R^n, X \not = 0$，有：
$$ (X, X) = x_1^2 + \cdots + x_n^2 > 0 $$
因此$(\ , \ )$是正定的。于是$(\ , \ )$是$\mathbb R^n$上的一个内积，称它是$\mathbb R^n$上的一个标准内积。