做如下的标记：
$$ M_{s\times n} (\mathcal K) := \{ \text{数域}\mathcal K \text{上} s \times n \text{矩阵} \} $$
两个矩阵相等$\Leftrightarrow$行数相等、列数相等、对应的元素相等
定义矩阵的加法：
$$ \left( \begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{s1} & \cdots & a_{sn} \\ \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ b_{s1} & \cdots & b_{sn} \\ \end{matrix} \right) := \left( \begin{matrix} a_{11} + b_{11} & \cdots & a_{1n} + b_{1n}\\ \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{s1} + b_{s1} & \cdots & a_{sn} + b_{sn} \\ \end{matrix} \right) $$
矩阵的数量乘法：
$$ k \left( \begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{s1} & \cdots & a_{sn} \\ \end{matrix} \right) := \left( \begin{matrix} ka_{11} & \cdots & ka_{1n} \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ ka_{s1} & \cdots & ka_{sn} \\ \end{matrix} \right) $$
元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为$0$。
易验证，$M_{s\times n} (\mathcal K)$是数域$\mathcal K$上的一个线性空间。
定义矩阵的乘法：
$$ A {s\times n} B{n \times m} = \left( \begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{s1} & \cdots & a_{sn} \\ \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix} b_{11} & \cdots & b_{1m} \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{nm} \\ \end{matrix} \right) := \left( \begin{matrix} a_{11}b_{11} + \cdots + a_{1n} b_{n1} & \cdots & a_{11}b_{1m} + \cdots + a_{1n} b_{nm} \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{s1}b_{11} + \cdots + a_{sn} b_{n1} & \cdots & a_{s1}b_{1m} + \cdots + a_{sn} b_{nm} \\ \end{matrix} \right) $$
矩阵的乘法不满足交换律
矩阵的乘法满足的运算法则：